De l'usage du nombre d'or

J'ai conservé, avec de l'intérêt, un ancien hors série de la revue Sciences et Vie Junior consacré aux nombres. Parmi les élus de ce numéro figure le nombre d'or. L'article s'intitule ainsi : " un nombre plaqué or ". Dans le corps de celui-ci, l'auteur a rappelé qu'on avait souvent fait grand cas de ce nombre dont l'impact n'arrivait pourtant pas à la cheville de certains nombres transcendants (*) comme e, le nombre de Néper, et bien-sûr l'incontournable trois quatorze cent seize, le célèbre pi (p). Et c'est tout en effectuant cette démonstration d'infériorité que l'auteur a tout de même rappelé une avalanche de propriétés du nombre d'or, que l'on dénomme aussi par f, la lettre grecque phi, en hommage au sculpteur Phydias. Le haro lancé sur le coupable résultait sans doute du caractère divin dont les dévots de cette proportion particulière continuent de l'affubler. Mais heureusement que la critique existe pour nous faire connaître tel ou tel sujet. Sans l'adversité de l'historien Strabon, le récit des aventures de Pythéas, marin marseillais, explorateur du grand nord, ne nous serait jamais parvenu. Nous avons tous besoin les uns des autres. Je ne m'épancherai pas dans ce propos sur les édifiantes propriétés mathématiques dont le nombre d'or est pourri, il existe une importante littérature sur lui et le web n'est vraiment pas en reste. Non, ce qui m'intéresse depuis un moment, c'est de comprendre pourquoi ce satané rapport ( en opposition à divin, histoire de faire contrepoids ), de valeur approchée 1,618, expression de la moitié de la somme de l'unité et de la racine carrée de cinq, occupe, avec la suite de nombres dite de Fibonacci (**) qui lui est souvent associée, une place non négligeable dans le vivant, et pourquoi nous le croisons dans nos activités.

Ça n'est sûrement pas dans ces quelques lignes que le problème va être résolu. Toutefois, quelques constatations méritent d'être rappelées. Certaines sont souvent évoquées :

La phyllotaxie des végétaux, du grec fullon, feuille et taxis, arrangement, ordonnancement, c'est à dire la distribution des feuilles et des rameaux autour des tiges. Dans de nombreux cas, celle-ci s'opère par répartition selon un angle d'ouverture p / f2 , soit 137°5 ;

La répartition des graines de tournesol, des écailles des pommes de pins, des ananas, les fleurettes du très esthétique chou romanesco, qui se développent le long de spirales, dont le nombre relevé est directement pris sur des termes de la suite de Fibonacci,

Idem pour le nombre moyen de pétales de certaines fleurs comme les paquerettes ;

La croissance de coquillages, qui suit la forme de la spirale d'or, dans le nautile en particulier ;

D'autres constats ont également été effectués, moins célèbres, mais dans des domaines parfois surprenants :

On connaît la la Loi de Titius-Bode, loi empirique qui établit une relation entre la distance des planètes au soleil et leur rang dans le système. Cette relation est fonction des puissances de 2. On connaît moins une coïncidence étonnante, rappelée par le mathématicien Jean-Marie Souriau dans une étude sur la dynamique du système solaire, entre les périodes de rotation des planètes autour du Soleil et une suite additive, du type Fibonacci ( source www.jp-petit.org ) ;

Il est aussi évoqué la fréquence d'apparition de certains nucléotides dans la structure de l'ADN qui suivrait également la suite de Fibonacci ;

Dans le domaine de la finance, le nombre d'or serait utilisé pour estimer les fluctuations boursières ascendantes ou descendantes (théorie des vagues d'Elliot) ;

Vous savez compter en base 10, vous avez même peut-être appris à compter en base 2 comme les ordinateurs. Des mathématiciens comptent aussi en base de Fibonacci (développement de Zeckendorf ) et décrivent à partir de là des objets mathématiques étranges comme les fractales de Rauzy... D'autres remplissent l'espace avec des pavages de Penrose qui ont une géométrie basée sur le nombre f, et qui seraient des projections d'objets à quatre dimensions...

Je me suis retrouvé, il y a quelques années au congrès mondial de l'Eau (IWA) qui se tenait alors à Paris. J'écoutais un des intervenants, surtout son interprète, et à un moment, il évoque le protocole d'essais de l'expérience de biochimie qu'il commentait, et qui consistait à renouveler celle-ci 8 fois, puis 13 fois et 21 fois pour asseoir ses conjectures... Là je suis preneur d'explications quant à l'utilisation de ce protocole en forme de suite de Fibonacci.

Il existe sûrement pléthore d'usages du nombre d'or à travers le monde, naturel ou résultant d'activités humaines. Il existe même une vénérable revue appelée Fibonacci Quarterly qui ne traite dans ses colonnes que du sujet fibonaccien qui semble donc être très vaste.

Il ressort de certaines théories, que l'apparition des suites additives et du nombre d'or (notamment sur les végétaux, études de S. Douady et Y. Couderc , la physique des spirales végétales ) répondrait à un critère d'efficacité d'occupation de l'espace. Et la suite de Fibonacci est la plus efficace des suites additives, au sens que le rapport des termes successifs de cette suite converge plus vite vers le nombre d'or que les autres.

Et derrière l'efficacité, il y aurait la stabilité... Ça devient intéressant ! Est-ce que la Vie teste, parmi les nombreux outils à sa disposition, un moyen efficace de croître et tout en mettant en place un système stable ? Sujet brûlant dont vont s'emparer tout plein d'autres théoriciens...

Personnellement, je me contente aujourd'hui de faire chanter le nombre d'or dans des tracés que j'ai le privilège de mettre en couleur de verre, et me voilà comblé.

Et pour finir une image poétique, extraite de l'adresse remi.schulz.club.fr/or/villedor.htm, je cite :
" ….Quand la ville dort, je lis volontiers ce titre Caen, la ville d'or, parce que Caen est le chef-lieu du 14, un nombre m'évoquant l'or (car notamment guématrie de l'hébreu zahav, or ). "
Certes là, on sort de l'épure en matière de nombre d'or, mais je trouve ça adORable, chauvinisme de normand sans doute ( chauve qui peut, dans mon cas ).

(*) Nombre transcendant : nombre x qui n'est la racine d'aucune équation polynomiale du type :
anxn +....+ a2x2 + a1x + a0 = 0 ( source wikipedia, c'est comme ça ). Parmi les vedettes, p et e, le nombre de Néper, en fait la plupart des nombres sont transcendants sauf que ce n'est pas simple à démontrer ).
(**) suite de Fibonacci : succession de nombres dont chaque terme est obtenu par addition des deux nombres immédiatement précédents de la suite, en commençant par 1 et 1, ou bien par 0 et 1, ce qui donne :
0, 1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, etc... exemple : 89 = 55 + 34.
Il est à noter que le rapport entre deux termes successifs de la suite tend vers le nombre d'or, à mesure qu'on s'avance dans cette suite.
La suite de Fibonacci fait partie de l'immense famille des suites additives. En effet, si les deux premiers termes sont choisis de manière quelconque, le processus est conservé, et le rapport entre deux termes successifs de cette nouvelle suite tend lui aussi vers le nombre d'or.